Distribución Binomial

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

La suma de m variables binomiales independientes cada una con igual p y con su propio n resulta ser una variable binomial con el mismo p que las anteriores y n dado por la suma de los n de las variables originales.

Estrategia

Sabemos que nos encontramos frente a la necesidad de emplear una distribución binomial cuando:

· Nos dan una determinada cantidad de elementos (piezas, intentos, etc.)

· Cada uno de esos elementos puede o no cumplir con una determinada condición (que la pieza sea defectuosa, que el intento haya salido bien, etc.)

· Nos dan o es posible calcular la probabilidad de que un elemento cumpla con la condición

· Nos preguntan cuál es la probabilidad de que determinada cantidad de elementos, de los n que hay en total, cumplan con la condición.

Por lo general estos problemas se resuelven encontrando la forma de calcular la probabilidad de que un elemento cumpla con la condición sin importar cuántos elementos haya. Luego tomaremos una variable X que representará cuántos elementos de los n que hay en total cumplen con la condición. Sus parámetros serán:

p: la probabilidad de que un elemento cumpla con la condición

n: la cantidad de elementos que hay en total.

Siempre comenzaremos por suponer que los n elementos son independientes entre sí, es decir, que el hecho de que un elemento cumpla o no con la condición no afecta la probabilidad de que los demás la cumplan o no. De lo contrario no podríamos usar la distribución binomial porque no estaríamos cumpliendo con las características del proceso de Bernoulli.

Si X está distribuida binomialmente con n y p, P(X = x) tendrá valor no nulo " x Î [0 ; n]. Todos los demás x tienen probabilidad nula. De todas las distribuciones que estudiaremos, ésta es la única que está acotada tanto superior como inferiormente.

0: si todos los experimentos han sido fracaso

n: si todos los experimentos han sido éxitos

Ejemplo:

se tira una moneda 10 veces: ¿cuantas caras salen? Si no ha salido ninguna la variable toma el valor 0; si han salido dos caras la variable toma el valor 2; si todas han sido cara la variable toma el valor 10 La distribución de probabilidad de este tipo de distribución sigue el siguiente modelo:

Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?

“ k “ es el número de aciertos. En este ejemplo “ k “igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k = 6)

“ n” es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10

“ p “ es la probabilidad de éxito, es decir, que salga “cara” al lanzar la moneda. Por lo tanto p = 0,5 La fórmula quedaría:

Luego,

P (x = 6) = 0,205

Es decir, se tiene una probabilidad del 20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda.

Es una de las distribuciones discretas mas importantes junto con las Distribuciones Geométrica, Hipergeometrica, y de Poisson..

Se utiliza para determinar la probabilidad de obtener un número o cantidad determinada de éxitos, en experimentos completamente aleatorios o de Bemoulli.

En este caso “X” se define como el éxito en un experimento.

Se requieren 3 valores, la cantidad designada de éxitos o X; el número de ensayos, observaciones o experimentos (n) y la probabilidad de éxito de cada ensayo.

Una variable aleatoria discreta X definida en un espacio de probabilidad: representa el número de éxitos en n repeticiones de un experimento de Bernoulli, entonces:

n = cantidad de ensayos o experimentos

x = cantidad de éxitos

p = probabilidad de éxito

q = probabilidad de fracasos (1-p)